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地方国立大学に通う情報系学部4年

統計学入門 第4章 練習問題 後半 解答まとめ

4.5

 向かい合って座るパターンは2通りであるが,隣り合って座るパターンは4通りある.よって,前者が15組で後者が30組だから隣り合って座る方を好むという推論には問題がある.

4.6

 目の和が9になる場合に(3,3,3)という3つ同じ数字の並びがあるが,目の和が10になる場合にはそのような並びはなく,(3,3,4)のような2つ同じ数字を含む並びしか存在しない.このような数字の並びは(3,3,4), (3,4,3), (4,3,3)と3パターンの並びがある.それに対して(3,3,3)はこの1パターンしか存在せず,3倍出やすさが異なるため,起こる確率は等しいと言えない.

4.7

i)

 ベイズの定理から,

\begin{align}
P(C|A) = \frac{P(C)P(A|C)}{P(C)P(A|C)+P(C^c)P(A|C^c)}
\end{align}

が成り立つ.これに, P(A|C)=0.95, P(C)=0.005, P(C^c)=0.995, P(A|C^c)=0.05を代入すれば,
\begin{align}
P(C|A) &= \frac{0.005*0.95}{0.005*0.95 + 0.995*0.05} \\
&= 0.0872\\
\end{align}

となる.正答率95%の検査であっても,ガンの発症確率が0.5%しかなければ,検査で陽性と審査されても本当に陽性である確率は8.7%しかないことが分かる.

ii)

\begin{align}
P(C|A) &= \frac{P(C)P(A|C)}{P(C)P(A|C)+P(C^c)P(A|C^c)} \\
&= \frac{0.005*R}{0.005*R+0.995*(1-R)} \geq 0.9 \\
\frac{5R}{995 - 990R} &\geq 0.9 \\
5R &\geq 895.5 - 891R \\
R &\geq \frac{895.5}{896} \\
R &\geq 0.99944
\end{align}

陽性と結果が出たときに,本当にガンが発症している確率を90%以上にしたかったら,正答率を99.944%以上にしないといけないことになってしまう事が分かる.