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地方国立大学に通う情報系学部4年

統計学入門 第5章 練習問題 前半 解答まとめ

5.1

i)

 [a, b]の一様分布の確率密度関数

\begin{align}
f(x) = \frac{1}{b-a}
\end{align}

であるので,[0, 6]上の一様分布の確率密度関数

\begin{align}
f(x) = \frac{1}{6}
\end{align}

となる.期待値は

\begin{align}
E(x) = \int_0^6 xf(x) dx = 3
\end{align}

分散は

\begin{align}
V(x) = E(x-\mu) = \int_0^6 (x - \mu)f(x) dx = 3
\end{align}

ii)

 チェビシェフの不等式は,いかなる確率変数Xに対しても

\begin{align}
P(|X-\mu| \geq kσ) \leq \frac{1}{k^2}
\end{align}

今回の一様分布では \mu = 3,  σ=\sqrt 3であるので,

\begin{align}
P(|X-3|\geq \sqrt 3σ) \leq \frac{1}{k^2}
\end{align}

である.例えば k=\sqrt 3とすると

\begin{align}
P(|X-3|\geq 3) &\leq \frac{1}{3} \\
P(X=6) &= \frac{1}{6} \leq \frac{1}{3}
\end{align}
となり,チェビシェフの不等式が成り立っている.

iii)

 歪度の定義は

\begin{align}
α_3 = \frac{E(X - \mu)^3}{σ^3}
\end{align}

尖度の定義は

\begin{align}
α_4 - 3 = \frac{E(X-\mu)^4}{σ^4} - 3
\end{align}

であるので,これを代入すると, α_3=0, α_4=-\frac{6}{5}

5.2

 本数が多すぎるため,1等4000円7本,2等1000円3本,外れ0円990本とします.期待値は

\begin{align}
4000*\frac{7}{1000} + 1000*\frac{3}{1000} + 0*\frac{990}{1000} = 31
\end{align}

5.3

i)

 1回目に表が出る確率は \frac{1}{2},2回目に表が出る確率は \frac{1}{4},3回目に表が出る確率は \frac{1}{8}と続くので,確率分布は

\begin{align}
f(X=2^n) = \frac{1}{2^n}
\end{align}

となる.

ii)

\begin{align}
E(X) &= \sum xf(x) \\
&= \sum 2^n\frac{1}{2^n} \\
&= \sum 1 \\
&= \infty
\end{align}

期待値が無限大になってしまうため,この賭けの参加費がいくら大きくてもこれに参加した方が良いことになってしまう.実際は8円以上を得る確率も12.5%しかないためこれはパラドックスである.

5.4

\begin{align}
E(X-a)^2 &= E(X^2-2aX+a^2) \\
&= E(X^2) -2aE(X) + a^2
\end{align}

これの最小値を求めたいため,上式をyとし,aで微分すると,

\begin{align}
\frac{dy}{da} &= 2a -2E(X) = 0 \\
a &= E(X)
\end{align}

となる.よってyを最小にするaはE(X)である.

このaをyに代入すれば,最小値は

\begin{align}
E(X-E(X))^2 &= E(X^2 - 2XE(X) + (E(X))^2) \\
&= E(X^2) -2E(X)E(X) + (E(X))^2 \\
&= E(X^2) + (E(X))^2
\end{align}

となる.