統計学入門　第6章　練習問題　後半　解答まとめ

6.6
- i)
- ii)
6.7
6.8
6.9
6.10

6.6

i)

\begin{align}
P(X>a+b|X>a) &= \frac{P(X>a+b \cap X>a)}{P(X>a)} \\
&= \frac{P(X>a+b)}{P(X>a)} \\
&= \frac{1-P(X\leq a+b)}{1-P(X\leq a)} \\
&= \frac{1-(1-e^{-λ(a+b)})}{1-(1-e^{-λa})} \\
&= e^{-λb}\\
&= P(X>b)
\end{align}

となる．

　第6章で言われているように，指数分布は待ち時間分布の性質を持つ．故障率が一定のシステムの偶発的な故障までの待ち時間はこの分布に従う．

　時間aまででシステムが故障してないとする． $P(X＞a+b|X＞a)$ は，更に時間bが経過してもシステムが故障していない確率という意味になる．それに対し， $P(X＞b)$ は（時間aまででシステムが故障しているいない関わらず）時間bまででシステムが故障していない確率である．つまり，時間bだけ経った後にシステムが故障しているかどうかは，時間aまででシステムが故障しているかどうかに無関係であるという意味になる．

ii)

\begin{align}
λ(x) &= \frac{f(x)}{1-F(x)} \\
&= \frac{λe^{-λx}}{1-(1-e^{-λx})} \\
&= λ
\end{align}

6.7

　正規分布表を使います．表の値を見て0.01や0.02に最も近い所を見つけ，その行と列の値が答えcになります．|Z|>cの時，Zは正も負も取るので探す値は÷2します．

6.8

　モードとは最も取る値の高い値です．つまりβ分布を微分すれば良いです．β分布は

\begin{align}
f(x) = \frac{x^{α-1}(1-x)^{β-1}}{B(α, β)}
\end{align}

である．ここでB(α, β)はβ関数であり，xは関わらない定数である．よって微分時には定数として扱える．

\begin{align}
f'(x) &= \frac{1}{B(α, β)}(α-1)x^{α-2}(1-x)^{β-1} - (β-1)x^{α-1}(1-x)^{β-2} \\
&= \frac{1}{B(α, β)}((α-1)(1-x) - x(1-β) )x^{α-2}x^{β-2} \\
&= \frac{1}{B(α, β)}((α-1) - x(α+β-2) )x^{α-2}x^{β-2}\\
\end{align}

これを0にするxが答えである．β分布は0<x<1の範囲上であるため答えは

\begin{align}
x = \frac{α-1}{α+β-2}
\end{align}

である．

6.9

　ワイブル分布はx>0の時

\begin{align}
f(x) = \frac{bx^{b-1}}{a^b}e^{-(\frac{x}{a})^b}
\end{align}

である．これの累積分布確率は0からxまでを積分すれば求まる．

\begin{align}
F(x) &= \int_0^x f(x) dx \\
&= \int_0^x \frac{bx^{b-1}}{a^b}e^{-(\frac{x}{a})^b} dx \\
\end{align}

ここで $t = -(\frac{x}{a})^b$ と置くと， $\frac{dt}{dx} = -\frac{bx^{b-1}}{a^b}$ となるので，
\begin{align}
F(x) &= \int_0^(\frac{x}{a})^b e^{t} \\
&= [e^t]_0^{(\frac{x}{a})^b} \\
&= 1-e^{(\frac{x}{a})^b}
\end{align}

6.10

　尖度は $α_4 = \mu_4 = E(X^r) = M_X''''(0)$ となる．まず $M_X(t)$ を求め4回微分し0を代入する．

　標準正規分布は $f(x) = \frac{1}{\sqrt {2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}$ であるため，

\begin{align}
M_X(t) &= \int_{\infty}^\infty e^{tx}\frac{1}{\sqrt {2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}} dx \\
&= \frac{1}{\sqrt {2\pi}}\int_{\infty}^\infty e^{tx - \frac{x^2}{2}} dx\\
&= \frac{1}{\sqrt {2\pi}}\int_{\infty}^\infty e^{\frac{2tx - x^2}{2}} dx\\
&= \frac{1}{\sqrt {2\pi}}\int_{\infty}^\infty e^{-\frac{(x-t)^2}{2} + \frac{t^2}{2}} dx \\
&= e^{\frac{t^2}{2}}\int_{\infty}^\infty \frac{1}{\sqrt {2\pi}}e^{-\frac{(x-t)^2}{2}}
\end{align}

ここで，この積分は平均t，分散1の正規分布である事が分かる．それを-∞から∞まで積分しているのでこれは1である．よって

\begin{align}
M_X(t) = e^{\frac{t^2}{2}}
\end{align}

となる．これをマクローリン展開すると

\begin{align}
M_X(t) = 1 + \frac{1}{2}t^2 + \frac{1}{8}t^4 + ...
\end{align}

となるため，4回微分すると，

\begin{align}
\mu_4 = M_X''''(t) = 3
\end{align}

となり，尖度は $α_4-3$ なので答えは0である．