統計学入門 第5章 練習問題 後半 解答まとめ
5.5
正n面体はどの面が出る確率もなので，期待値は
\begin{align}
E(X) = \sum_{i=1}^n xf(x) = \sum_{i=1}^n i\frac{1}{n} = \frac{1}{n}\frac{n(n+1)}{2} = \frac{n+1}{2}
\end{align}
である．分散は
\begin{align}
V(X) &= E(X-\mu)^2 \\
&= E(X^2) - 2\mu E(X) + \mu^2
\end{align}
ここで，
\begin{align}
E(X^2) &= \sum_{i=1}^n i^2\frac{1}{n} = \frac{1}{n}\frac{n(n+1)(2n+1)} = \frac{(n+1)(2n+1)}{6}
\end{align}
であるため，
\begin{align}
V(X) &= \frac{(n+1)(2n+1)}{6} - 2\frac{n+1}{2}\frac{n+1}{2} + (\frac{n+1}{2})^2 \\
&= \frac{n^2-1}{12}
\end{align}
となる．
5.6
問題文からXの累積分布関数を求めて，X^2の累積分布関数を求めそれを微分し密度関数などを求めていけば良いことが分かる.
Xの密度関数は
\begin{align}
f(x) = 1 (0\leq x \leq 1)
\end{align}
であるため，この累積分布関数は
\begin{align}
F(x) = \int_{-\infty}^x f(u)du = x
\end{align}
である.
y=x^2，X^2の密度関数をg(x)とすると，X^2の累積分布関数は
\begin{align}
G(y) &= P(X^2 \leq y) \\
&= P(0\leq x\leq \sqrt y) \\
&= F(\sqrt y) - F(0) \\
&= \sqrt y
\end{align}
となる．これを微分すると密度関数になるため，
\begin{align}
g(y) &= G^{'}(y) \\
&= \frac{1}{2\sqrt y} \\
\end{align}
となる．期待値は
\begin{align}
E(y) &= E(x^2) \\
&= \int_0^1 x^2f(x) \\
&= \frac{1}{3}
\end{align}
分散は
\begin{align}
E(y^2) &= \int_0^1 x^4f(x) = \frac{1}{5} \\
V(y) &= E(y^2) - (E(y))^2 \\
&= \frac{1}{5} - \frac{1}{9} \\
&= \frac{4}{45}
\end{align}
となる．
5.7
5.6と同様に解く.
\begin{align}
f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp (-\frac{x^2}{2})
\end{align}
であるので，この累積分布関数は第10章でやったように
\begin{align}
F(x) = \int_{-\infty}^x f(u)du = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp (-\frac{x^2}{2}) = \Phi(z)
\end{align}
と書く.
X^2の累積分布関数は
\begin{align}
G(y) &= P(X^2 \leq y) \\
&= P(-\sqrt y \leq x \leq \sqrt y) \\
&= 2P(0 \leq x \leq \sqrt y) \\
&= 2F(\sqrt y) - 2F(0) \\
&= 2(\Phi(\sqrt y) - \frac{1}{2})
\end{align}
となる．密度関数はこれを微分すれば良く，
\begin{align}
g(y) &= G^{'}(y) \\
&= 2\Phi^{'}(y) \\
&= \frac{1}{\sqrt{2\pi y}}e^{-\frac{y}{2}}
\end{align}
\begin{align}
E(y) &= \int_{-\infty}^{\infty} x^2 \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp (-\frac{x^2}{2}) dx \\
&= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} x^2 \exp (-\frac{x^2}{2}) dx \\
&= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \sqrt{2\pi} \\
&= 1
\end{align}
\begin{align}
V(y^2) &= \int_{-\infty}^{\infty} x^4 frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp (-\frac{x^2}{2}) dx \\
&= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} x^4 \exp (-\frac{x^2}{2}) dx \\
&= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} 3\sqrt{2\pi} \\
&=3
\end{align}
5.8
二項分布は
\begin{align}
f(x) = _nC_x p^x(1-p)-{n-x}
\end{align}
である．これの累積分布関数は，それぞれの総和を取れば良いので
\begin{align}
F(x) = \sum_{i=1}^x {}_nC_x p^x(1-p)-{n-x}
\end{align}
\begin{align}
G(x) = \sum_{i=1}^{x-1} {}_nC_x p^x(1-p)-{n-x}
\end{align}
となる．
