統計学入門 第6章 練習問題 前半 解答まとめ

6.1

統計学入門 第6章 確率分布 離散編 まとめ - hirohirohirohirosのブログ

ここで証明済みである.

6.2

　4人までなら不足しない．5人以上の救急患者が来たときに不足する．ポアソン分布は

\begin{align}
f(x) = \frac{e^{-λ}λ^x}{x!}
\end{align}

であり，λ=2.5であるため答えは1-(f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+f(4))となる．答えをpythonで求めておく．eはmathモジュールのmath.eで，階乗は同様にmathモジュールのmath.factorialで求められる．

答えは0.1088である．

6.3

　本書では幾何分布の一般化として負の二項分布が導出されていたが，名前にもあるように二項分布から負の二項分布を導出してみようと思う．

　二項分布はSがx回，Fがn-x回起きる確率を
\begin{align}
f(x) = {}_nC_x p^x(1-p)^{n-x}
\end{align}

としていた．負の二項分布はSがk回起こるまでにFがx回出る確率である．

\begin{align}
f(x) = {}_{k+x-1}C_x p^k(1-p)^x
\end{align}

6.4

i)

　表がn-1回裏が1回出るパターンと表が1回裏がn-1回出るパターンがあるので

\begin{align}
P = np^{n-1}q + npq^{n-1}
\end{align}

ii)

　i)の試行を繰り返し，始めて確率Pを引いたときの試行回数は幾何分布に従うので，

\begin{align}
f(x) = P(1-P)^{x-1}
\end{align}

となる．幾何分布の期待値はなので，この期待値は

\begin{align}
E(x) = \frac{1}{np^{n-1}q + npq^{n-1}}
\end{align}

6.5

　を確率密度関数にするにはこの式を積分したときに1になるようにすれば良いので，

\begin{align}
\int_{-\infty}^{\infty} f(x) &= \int_{-1}^1 c(1-x^2) \\
&= c[x-\frac{x^3}{3}]_{-1}^1 \\
&= c\frac{4}{3} = 1 \\
c &= \frac{3}{4}
\end{align}

　期待値はであるので，

\begin{align}
E(x) &= \int_{-\infty}^{\infty}xf(x) \\
&= \int_{-1}^1 \frac{3}{4}x(1-x^2) \\
&= \frac{3}{4} (\int_{-1}^1 x - \int_{-1}^1 x^3) \\
&= \frac{3}{4} ([\frac{x^2}{2}]_{-1}^1 - [\frac{x^4}{4}]_{-1}^1) \\
&= 0
\end{align}

　分散はなので，(計算式は一部略す)

\begin{align}
V(x) &= \int_{-\infty}^{\infty}(x-E(x))^2f(x) \\
&= \int_{-1}^1 x^2\frac{3}{4}x(1-x^2) \\
&= \frac{1}{5}
\end{align}

　歪度はであるので，E(x) = μとすると，

\begin{align}
E(x^3) &= \int_{-1}^1 x^3\frac{3}{4}(1-x^2) \\
&= 0 \\
α_3 &= \frac{E(x - \mu)^3}{σ^3} \frac{1}{σ^3} \\
&= E(x^3) - 3\mu E(x^2) + 2\mu^3  \frac{1}{σ^3}\\
&= 0
\end{align}

　尖度はから3引いた値であるので，

\begin{align}
E(x^4) &= \int_{-1}^1 x^4\frac{3}{4}x(1-x^2) \\
&= \frac{3}{4}(\frac{2}{5}-\frac{2}{7}) \\
&= \frac{3}{35}
α_4 &= \frac{E(x-E(x))^4}{σ^4} \frac{1}{σ^4}\\
&= E(x^4) -4\mu E(x^3) + 6\mu^2E(x^2) - 3\mu^4 \frac{1}{σ^4} \\
&= \frac{3}{35} \frac{1}{\frac{1}{25}} \\
&= \frac{15}{7}
\end{align}

尖度はである．